Cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f’(x) có hai giá trị cực trị là -4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường \(y=\...

* Hướng dẫn giải

Ta có: f(x) = x3 + ax2 + bx + c => f'(x) 3x² +  2ax +b; f"(x) = 6x + 2a và f"(x) = 6

Phương trình hoành độ giao điểm của các đường \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}}\) và y = 1 là:

\(\begin{gathered}
  y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}} = 1 <  =  > f(x) = g(x) + 6 \hfill \\
   \Leftrightarrow {x^3} + a{x^2} + bx + c = ({x^3} + a{x^2} + bx + c) + (3{x^2} + 2ax + b) + (6x + 2a) + 6 \hfill \\
   \Leftrightarrow 3{x^2} + (2a + 6)x + 2a + b + 6 = 0(*) \hfill \\ 
\end{gathered} \)

Gọi 2 nghiệm của pt (*) là x₁ và x₂ 

Nhận xét: g(x) =f(x)+f'(x)+f"(x)

=> g'(x) = f'(x)+f"(x)+f"'(x)

<=> g'(x) = \((3{x^2} + 2ax + b) + (6x + 2a) + 6\) = 3x² + (2a+6)x + 2a + b + 6

\(=  > g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  x = {x_1} \hfill \\
  x = {x_2} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\) 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}}\) và y = 1 là:

\(\begin{gathered}
  S = \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_1}} {\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}}} \right)} dx} \right| = \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_1}} {\left( {\frac{{f(x) - g(x) - 6}}{{g(x) + 6}}} \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_1}} {\left( {\frac{{g'(x)}}{{g(x) + 6}}} \right)} dx} \right| \hfill \\
   = \left| {\left. {\ln \left| {g(x) + 6} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| = \left| {\ln \left| {g({x_2}) + 6} \right| - \left| {g({x_1}) + 6} \right|} \right| = \ln 8 - \ln 2 = 2\ln 2 \hfill \\ 
\end{gathered} \) 

Chọn A