Giả sử F là nguyên hàm của f trên R thỏa mãn F(0)=2. Giá trị của F(-1) + 2F(2) bằng

* Hướng dẫn giải

TXD: D = R

Với x>1 hay x<1 thì hàm số f(x) là hàm đa thức liên tục

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (3{x^2} - 2) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2x - 1) = 1\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = f(1) = 1\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên R

Với x ≥ 0 thì \(\int {f(x)dx}  = \int {f(2x - 1)dx}  = {x^2} - x + {C_1}\) 

Với x < 1 thì \(\int {f(x)dx}  = \int {f(3{x^2} - 2)dx}  = {x^3} - 2x + {C_2}\) 

Mà F(x) = 2 nên C₂ = 2

Khi đó \(F(x) = \left[ \begin{gathered}
  {x^2} - x + {C_1}\;\;\;\;\;\;khi\;\;x \geqslant 1 \hfill \\
  {x^3} - 2x + 2\;\;\;\;\;\;khi\;\;x < 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\)  

Đồng thời F(x) cũng liên tục trên R nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F(x)\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = F(1) = 1 <  =  > {C_1} = 1\) 

Do đó \(F(x) = \left[ \begin{gathered}
  {x^2} - x + 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;\;x \geqslant 1 \hfill \\
  {x^3} - 2x + 2\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\; \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\) 

Vậy F(-1)+2F(2)=3+2.3=9

Chọn D