Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ \(C\) đến \(BB'\) bằng \(2a,\) khoảng cách từ \(A\) đến các đường thẳng \(BB'\) và \(CC'\) lần lượt bằng \(a\) và \(a\sqrt{3}\), hì...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BB',CC'\Rightarrow AE=a,AF=a\sqrt{3}.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} BB' \bot AE\\ BB' \bot AF \end{array} \right. \Rightarrow BB' \Rightarrow \left( {AEF} \right) \Rightarrow BB' \bot EF \Rightarrow EF = d\left( {C,BB'} \right) = 2a.\)

Suy ra \(\Delta AEF\) vuông tại \(A.\)

Gọi \(K=MM'\cap EF\Rightarrow K\) là trung điểm của \(EF\Rightarrow AK=\frac{1}{2}EF=a.\)

Lại có \(MM'//BB'\Rightarrow MM'\bot \left( AEF \right)\Rightarrow MM'\bot AK.\)

Suy ra \(\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{AM{{'}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow AM=2a.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(EF\Rightarrow AH\bot \left( BCC'B' \right).\)

Ta có \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{E}^{2}}}+\frac{1}{A{{F}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2},M'{{M}^{2}}=A{{M}^{2}}+AM{{'}^{2}}=\frac{16a}{3}\Rightarrow MM'=\frac{4\sqrt{3}a}{3}.\)

Ta cũng có \({{S}_{BCC'B'}}=d\left( C,BB' \right).BB'=\frac{8\sqrt{3}{{a}^{2}}}{3}.\)

Suy ra \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{3}{2}{{V}_{A.BCC'B'}}=\frac{3}{2}.\frac{1}{3}.AH.{{S}_{BCC'B'}}=2{{a}^{3}}.\)