Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ ​ Hàm số \(y=f\left( 1-x \right)+\frac{{{x}^{2}}}{2}-x\) nghịch biến trên khoảng

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y=f\left( 1-x \right)+\frac{{{x}^{3}}}{2}-x\Rightarrow y'=-f'\left( 1-x \right)+x-1.\)

Đặt \(t=1-x.\) Khi đó ta có \(y'=-f'\left( t \right)-t=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)=-t\)

Vẽ đồ thị hàm số \(y=-t\) và \(y=f'\left( t \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta thấy:

                                                            \(f'\left( t \right)=-t\Leftrightarrow t=-3,t=1,t=3.\)

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng

\(\left[ \begin{array}{l} - 3 < t < 1\\ t > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3 < 1 - x < 1\\ 1 - x > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x < 4\\ x < - 2 \end{array} \right..\)                           

Ta thấy \(\left( 1;3 \right)\subset \left( 0;4 \right).\)