Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AD=DC=a,AB=2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAD \right)\)cùng vuông góc...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB,\) dễ thấy \(ADCM\) là hình vuông \(\Rightarrow MC=AM=\frac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow \Delta ACB\) là tam giác vuông tại \(C\)

Gọi \(N\) đối xứng với \(C\) qua \(M\Rightarrow ACBN\) là hình chữ nhật

\(AC//BN\Rightarrow AC//\left( SBN \right)\Rightarrow d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBN \right) \right)=\frac{3{{V}_{S.ABN}}}{{{S}_{\Delta SBN}}}.\)

Tính \({{V}_{S.ABN}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABN}}=\frac{1}{6}SA.AN.NB=\frac{1}{6}SA.BC.AC\)

\(SA=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6};BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

Như vậy: \({{V}_{S.ABN}}=\frac{1}{6}.a\sqrt{6}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}\)

Ta có: \(SN=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=2\sqrt{2}a\)

Xét \(\Delta SBN\) vuông tại \(N,\left( BN\bot AN;BN\bot SA\Rightarrow BN\bot SN \right)\)

Ta có: \({{S}_{SBN}}=\frac{1}{2}SN.NB=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}a.a\sqrt{2}=2{{a}^{2}}\)

Suy ra \(d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBN \right) \right)=\frac{3{{V}_{S.ABN}}}{{{S}_{\Delta ABN}}}=\frac{3.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}}{2{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)