Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+4-{{x}^{2}} \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1\) là \(\left( -\sqrt{a};-\sqrt{b} \right].\)

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(x\sqrt{{{x}^{2}}-2}-{{x}^{2}}=x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}-x \right)=\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}.\)

Ta có: \({{\log }_{2}}\left( x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}-x \right)+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}-x \right)+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1.\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{2\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1,\left( 1 \right)\)

Ta có \(\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x>0,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Điều kiện: \(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 2} > - 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 0\\ \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ 4{x^2} + 8 > 9{x^2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x > - \sqrt {\frac{8}{5}} .\left( * \right)\)

Với điều kiện (*), ta có

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)+3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le {{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x,\left( 2 \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\) với \)t>0.\) Có \(f'\left( t \right)=\frac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right).\)

Hàm số \(f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right),\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)\in \left( 0;+\infty  \right)\) và \(\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)\in \left( 0;+\infty  \right).\)

Nên \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)\le f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)\)

\(\Leftrightarrow 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2}\le -2x\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -2x\ge 0 \\ & {{x}^{2}}+2\le 4{{x}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\le 0 \\ & 3{{x}^{2}}\ge 2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x\le -\sqrt{\frac{2}{3}}.\)

Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là \(\left( -\sqrt{\frac{8}{5}};-\sqrt{\frac{2}{3}} \right)\) hay \(a.b=\frac{16}{15}.\)