Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},BC=2a,\) đường thẳng \(AC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) một góc \({{30}...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Ta có \(\left( AC',\left( BCC'B' \right) \right)=\left( AC',HC' \right)=\widehat{AC'H}\Rightarrow \widehat{AC'H}={{30}^{0}}\Rightarrow AC'=2AH=a\sqrt{3}.\)

\(\Rightarrow CC'=\sqrt{AC{{'}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Gọi \(O,O',I\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B'C',OO'\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngại tiếp lăng trụ.

\(\Rightarrow R=AI=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{BC}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{CC'}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)

Vậy diện tích mặt cầu là \(4.\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}.\)