Giá trị của tổng \(S=C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+...+C_{100}^{3}\) bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{array}{l} C_3^3 + C_4^3 + C_5^3 + .... + C_{100}^3\\ = \frac{{3!}}{{3!.0!}} + \frac{{4!}}{{3!.1!}} + \frac{{5!}}{{3!.2!}} + .... + \frac{{100!}}{{3!.97!}}\\ = \frac{1}{{3!}}.(1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + .... + 98.99.100) \end{array}\)

Chứng minh bằng quy nạp ta được: \(1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

Áp dụng vào ta có: \(C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+....+C_{100}^{3}=\frac{1}{3!}.\frac{98.99.100.101}{4}=\frac{101!}{4!.97!}=C_{101}^{4}\)