Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang có \(AD//BC,M\) là điểm di động trong hình thang \(ABCD.\) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\) và \(SB\) lần lượt cắt các mặ...

* Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của BM với AD là J, giao điểm của AM với BC là I

Gọi độ dài MN là x, độ dài MP là y.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{MN}}{{SA}} = \frac{{IM}}{{IA}}\\ \frac{{MP}}{{SB}} = \frac{{JM}}{{JB}} = \frac{{AM}}{{AI}} \end{array} \right. = > \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

\(=>P=(\frac{x}{2a}.\frac{x}{2a}.\frac{y}{b}).\frac{4{{a}^{2}}}{b}\le \frac{{{(\frac{x}{2a}+\frac{y}{2a}+\frac{y}{b})}^{3}}}{{{3}^{3}}}\frac{4{{a}^{2}}}{b}=\frac{1}{27}.\frac{4{{a}^{2}}}{b}=\frac{4{{a}^{2}}b}{27}\)(BĐT Cauchy)