Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều và \(A'A=A'B=A'C.\) Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\) và khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\...

* Hướng dẫn giải

* Gọi \(H\) là trung điểm \(BC,O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Vì \(A'A=A'B=A'C\) nên hình chiếu của \(A'\) lên \(\left( ABC \right)\) là điểm \(O\) hay \(A'O\bot \left( ABC \right).\)

Gọi \(E\) là điểm sao cho \(BCAE\) là hình bình hành.

\(\Leftrightarrow d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( \left( AA'E \right);\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( H;\left( AA'E \right) \right).\)

* Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(AA'.\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l} A'O \bot AE\\ A'O \bot AE \end{array} \right. \Rightarrow \left( {AA'O} \right) \bot AE \Rightarrow OK \bot AE\)

\(\Rightarrow OK\bot \left( AA'E \right).\)

* Ta có: \(\frac{d\left( O;\left( A'AE \right) \right)}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\frac{OK}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\frac{AO}{AH}=\frac{2}{3}\Rightarrow OK=\frac{2}{3}.\)

* Góc giữa \(AA'\) và \(\left( ABC \right)\) là góc giữa \(AA'\) và \(AO\) bằng \({{60}^{0}}.\)

\(\Rightarrow AO=\frac{OK}{\sin {{60}^{0}}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{AB\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AB=\frac{4}{3}.\)

* \(A'O=AO.\tan {{60}^{0}}=\frac{4}{3}.\)

Vậy \(V=A'O.{{S}_{ABC}}=\frac{4}{3}.\frac{{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{27}.\)