Cho mặt nón tròn xoay đỉnh \(S\) đáy là đường tròn tâm \(O\) có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng \(a.\text{ }A,B\) là hai điểm bất kì trên đường tròn \(\left( O \r...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(\widehat{AOB}=\alpha .\) Hình chóp \(S.OAB\Rightarrow {{0}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}}\Rightarrow 0<\sin \alpha \le 1\)

Diện tích \(\Delta OAB\) là \(\frac{1}{2}.OA.ON.\sin \alpha \Rightarrow \) Thể tích khối chóp \(S.OAB\) là \(V=\frac{1}{6}.SO.OA.OB.\sin \alpha \)

Vì thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng \(a\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{3}}{2};OA=OB=\frac{a}{2}\)

\(\Rightarrow V=\frac{1}{6}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\sin \alpha =\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}.\sin \alpha }{48}\le \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \sin \alpha =1\Leftrightarrow \alpha ={{90}^{0}}\Leftrightarrow OA\bot OB\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.OAB\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}.\)