Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+4\) có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( -3;3 \right)?\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+4\text{  }\left( 1 \right)\)

            \(y'=3{{x}^{2}}-6x-m\)

Xét: \(g\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-m\)

Hàm số \(\left( 1 \right)\) có hai cực trị thuộc khoảng \(\left( -3;3 \right)\) khi \(g\left( x \right)=0\) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( -3;3 \right).\)

Ta có: \(g\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-m=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=m\)

Xét: \(h\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow h'\left( x \right)=6x-6,\) cho \(h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(m\in \left( -3;9 \right).\)

Vậy có 11 giá trị nguyên của \(m.\)