Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\), biết đồ thị của \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tạ...

* Hướng dẫn giải

Từ đồ thị \(f'\left( x \right)\) suy ra \(f'\left( 1 \right)=0.\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

                                    \(y=f'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)\Leftrightarrow y=f\left( 1 \right).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị \(\left( C \right)\) là: \(f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\)

Từ đồ thị \(f'\left( x \right)\) suy ra \(f'\left( -1 \right)=f'\left( 3 \right)=0.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y=f\left( x \right).\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng \(y=f\left( 1 \right)\) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \(a,1,b\) với \(a<-1\) và \(b>3.\) Suy ra \({{b}^{2}}>9\) và \({{a}^{2}}>1.\)

Vậy \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>10.\)