Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}+\sqrt{\left( 6-x \right)\left( x-4 \right)}\) là \(M,m.\) Tính tổng \(M+m.\)

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=4\le x\le 6.\)

Đặt \(t=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}\Rightarrow \frac{{{t}^{2}}}{2}-1=\sqrt{\left( 6-x \right)\left( x-4 \right)}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}\) với \(4\le x\le 6.\)

Ta có: \(f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{6-x}-\sqrt{x-4}=0\Leftrightarrow x=5.\)

Bảng biến thiên

Vậy \(f\left( x \right)\in \left[ \sqrt{2};2 \right]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};2 \right]\)

Hàm số đã cho trở thành \(y=f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}}{2}+t-1\) với \(t\in \left[ \sqrt{2};2 \right].\)

Khi đó \(y'=t+1.\) Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow t=-1\notin \left[ \sqrt{2};2 \right].\)

Ta có: \(f\left( \sqrt{2} \right)=\sqrt{2};f\left( 2 \right)=3.\) Suy ra \(M=3,m=\sqrt{2}.\)

Vậy \(M+m=3+\sqrt{2}.\)