Tìm tất cả các giá trị của \)m\) để hàm số \(y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3x+2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

* Hướng dẫn giải

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=3\left( m-1 \right){{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+3.\)

Trường hợp 1: \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow y=3x+2\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Trường hợp 2: \(m - 1 \ne 0 \Rightarrow y' \ge 0{\rm{ }}\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 1 > 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ 9{\left( {m - 1} \right)^2} - 9\left( {m - 1} \right) \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ 1 \le m \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 2.\)

Kết hợp hai trường hợp trên suy ra \(1<m\le 2.\)