Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \({{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+2y \right)\). Giá trị tỉ số \(\frac{x}{y}\) là

* Hướng dẫn giải

Đặt \({\log _9}x = {\log _{12}}y = {\log _{16}}\left( {x + 2y} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = {9^t}\\ y = {12^t}\\ x + 2y = {16^t} \end{array} \right..\)

Khi đó \(\frac{x}{y}=\frac{{{9}^{t}}}{{{12}^{t}}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}.\)

Mặt khác ta có phương trình:

\({9^t} + {2.12^t} = {16^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{16}}{9}} \right)^t} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = 1 + \sqrt 2 \left( {nhan} \right)\\ {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = 1 - \sqrt 2 \left( {loai} \right) \end{array} \right.\)

Do đó \(\frac{x}{y}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.\)