Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) , có bảng biến thiên như sau. Hỏi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{f\left( x \right)+2}\) có tất cả bao nhiêu...

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(f\left( x \right)+2=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2\) số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)+2=0\) bằng số giao điểm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) với đường thẳng \(y=-2.\)

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \(f\left( x \right)+2=0\) có ba nghiệm phân biệt đó là:

\({{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}\in \left( 0;2 \right),{{x}_{3}}\in \left( 2;+\infty  \right)\)

Ta có \(\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty ,\underset{x\to x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty ,\underset{x\to x_{2}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty \)

Suy ra hàm số \(y=\frac{1}{f\left( x \right)+2}\) có ba đường tiệm cận đứng.

Xét \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=\frac{1}{4};\underset{x\to x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=0\)

Suy ra hàm số \(y=\frac{1}{f\left( x \right)+2}\) có hai đường tiệm cận ngang.

Vậy hàm số có 5 đường tiệm cận, vì vậy ta chọn đáp án A.