Cho hàm đa thức \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau Có bao nhiêu giá trị của \(m\in \left[ 0;\,6 \right];\,2m\in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x)=f\left( {{x}^...

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(g(x)=f(|x-1{{|}^{2}}-2|x-1|+m-1)\)

Đặt \(t=x-1=>g(t)=f(|t{{|}^{2}}-2|t|+m-1)\)

Xét \({{g}_{1}}(t)=f({{t}^{2}}-2t+m-1)\)

\(\begin{array}{l} = > g_1'(t) = f'({t^2} - 2t + m - 1)\\ = > g_1'(t) = 0 < = > \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ f'({t^2} - 2t + m - 1) = 0 \end{array} \right. \end{array}\)

g(x) có 9 cực trị khi g(t) có 9 cực trị.

\(<=>{{g}_{1}}(t)\) có 4 cực trị dương.

\(g_1'(t) = 0 < = > \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ {t^2} - 2t + m - 1 = 1\\ {t^2} - 2t + m - 1 = 0\\ {t^2} - 2t + m - 1 = 2\\ {t^2} - 2t + m - 1 = 3 \end{array} \right.\)

\({{g}_{1}}(t)\) có 4 cực trị dương khi: \(\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \ge 1\\ 0 < m - 3 < 1\\ m - 4 \le 0 \end{array} \right.\\ m - 2 \le 0 \end{array} \right. < = > \left[ \begin{array}{l} 3 < m < 4\\ m \le 2 \end{array} \right.\).

Mà \(m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0,6],2m\in \mathbb{Z}\)\(=>m=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{7}{2}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }\)

Vậy có  6giá trị của m thỏa mãn đề bài