Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC=AD=BC=BD=1\), mặt phẳng\(\left( ABC \right)\bot (ABD)\) và \(\left( ACD \right)\bot (BCD)\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( BCD \right)\)l...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(AB.\)

\(\Delta ACD\) cân tại \(A\) nên \(AH\bot CD\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( BCD \right) \right)=AH\)

Đặt \(AH=x.\)

\(HD=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\).

\(\Delta BCD=\Delta ACD\Rightarrow HB=HA=x\) (hai đường cao tương ứng bằng nhau).

\(\Rightarrow \frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{A}^{2}}}+\frac{1}{H{{B}^{2}}}=\frac{2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{x\sqrt{2}}{2}.\)

Mặt khác, ta lại có:

\(\Delta ABD\) cân tại \(D\) nên \(DK\bot AB\Rightarrow AH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow DK\bot CK\Rightarrow \Delta KCD\) là tam giác vuông tại \)K.\)

Suy ra \(HK=\frac{1}{2}CD\Leftrightarrow HK=HD=\frac{x\sqrt{2}}{2}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)

Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( BCD \right)\) bằng \(\frac{\sqrt{6}}{3}.\)