Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). Biết \(AB=A{A}'=a\), \(AC=2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Diện tích mặt cầu ngoại...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(B'C'.\) Khi đó \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A'B'C'.\)

Gọi \(M'\) là trung điểm của cạnh \(A'C'.\) Khi đó \(MM'\bot \left( A'B'C' \right).\)

Do \(MA'=MC'=a\sqrt{2}\) nên \(\Delta MA'C'\) vuông tại \(M,\) do đó \(M'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MA'C'\) nên \(IM'\) là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MA'C'.\) Suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(M.A'B'C'\).

Bán kính mặt cầu là \(r=IB'=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)

Diện tích mặt cầu là \(S=4\pi {{r}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.\)