Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\bot \left( ABCD \right)\), đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với\(AC=a\sqrt{3}\)và \(BC=a\). Tính khoảng cách giữa \(SD\) và \(BC\).

* Hướng dẫn giải

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên

\(BC//AD\Rightarrow BC//\left( SAD \right)\Rightarrow d\left( BC,SD \right)=d\left( BC,\left( SAD \right) \right)=d\left( B,\left( SAD \right) \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\ AB \bot AD \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = AB\)

Xét hình chữ nhật \(ABCD\) ta có: \(A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}=3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AB=a\sqrt{2}.\)

Vậy: \(d\left( BC,SD \right)=a\sqrt{2}.\)