Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB=AC=a\), \(A{A}'=\sqrt{2}a\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện \(A{B}'{A}'C\) là

* Hướng dẫn giải

Khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(AB'A'C\) là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(BAC.A'B'C'\)

Gọi \(D,E\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B'C';O\) là trung điểm của \(DE\)

\(\Rightarrow O\) là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(BAC.A'B'C'\) (do đáy là \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A)\)

Ta có: \(OD=\frac{AA'}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\) và \(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AD=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow \) Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(R=OA=\sqrt{A{{D}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}}=a\)

Vậy thể tích khối cầu cần tính là \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}.\)