Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ bên. Biết hàm số \(y=f\left( x \right)\) đạt cực trị tại các điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{...

* Hướng dẫn giải

Nhận thấy kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị \(\left( C \right)\) sang bên trái sao cho đường thẳng \(d:x={{x}_{2}}\) trùng với trục tung khi đó \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm trùng phương \(y=g\left( x \right)\) có ba điểm cực trị \({{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=0,{{x}_{3}}=1\). Suy ra \(y=g\left( x \right)=k\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)+c\,\,\left( k>0 \right)\)

 Lại có \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+\frac{2}{3}f\left( {{x}_{2}} \right)=0\Rightarrow -2k+2c+\frac{2}{3}c=0\Leftrightarrow c=\frac{3}{4}k\)

Suy ra :\(y=g\left( x \right)=k\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)+\frac{3}{4}k\) 

Khi đó: \({{S}_{1}}+{{S}_{2}}=k\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\frac{3}{4} \right|}dx=\frac{28\sqrt{2}-17}{60}k\).

Ta lại có : \(g\left( 0 \right)-g\left( 1 \right)=k\)\(\Rightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}=k.1=k\) .

Suy ra \({{S}_{3}}+{{S}_{4}}=k-\frac{28\sqrt{2}-17}{60}k=\frac{77-28\sqrt{2}}{60}k\Rightarrow \frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}}=\frac{28\sqrt{2}-17}{77-28\sqrt{2}}\approx 0,604\)