Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \({f}'(x)\) như hình vẽ sau

* Hướng dẫn giải

Đặt \(h\left( x \right)=\frac{1}{3}f\left( {{x}^{3}} \right)-2x\Rightarrow {h}'\left( x \right)={{x}^{2}}{f}'\left( {{x}^{3}} \right)-2\)

Ta có \({h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{3}} \right)=\frac{2}{{{x}^{2}}},\left( x\ne 0 \right),\left( 1 \right)\)

Đặt  \(t={{x}^{3}}\Rightarrow x=\sqrt[3]{t}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có: \({f}'\left( t \right)=\frac{2}{\sqrt[3]{{{t}^{2}}}},\left( 2 \right)\)

Xét \(m\left( t \right)=\frac{2}{\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}\Rightarrow {m}'\left( t \right)=-\frac{4}{3}.\frac{1}{\sqrt[3]{{{t}^{5}}}}\)

Lúc này ta có hình vẽ 2 đồ thị như  sau

Suy ra pt \(\left( 2 \right)\) có 1 nghiệm \(t={{t}_{0}}>0\Rightarrow \)pt \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x=\sqrt[3]{{{t}_{0}}}={{x}_{0}}>0\)

Bảng biến thiên của \(h\left( x \right),\,g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|\) như sau

Vậy hàm số \(y=g\left( x \right)\) có \(3\) điểm cực trị.