Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12\) và mặt phẳng \(\left( P \ri...

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;1;1 \right)\), bán kính \(R=2\sqrt{3}\)

Xét điểm \(M\left( a;b;c \right);  A\left( x;y;z \right)\) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12\\ A{I^2} + A{M^2} = I{M^2}\\ a - 2b + 2c + 11 = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12{\rm{ (1)}}\\ 12 + {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}{\rm{ (2)}}\\ a - 2b + 2c + 11 = 0{\rm{ (3)}} \end{array} \right.\)

Lấy (1) – (2) theo vế ta được: \(\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0\) 

Vậy mặt phẳng \(\left( Q \right):\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0\) là mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm.

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng \(\left( Q \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(\left( 0;3;-1 \right)\).