Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \({{\left| z \right|}^{2}}=2\left| z+\overline{z} \right|+4\) & \(\left| z-1-i \right|=\left| z-3+3i \r

* Hướng dẫn giải

Ta có \(M\left( x;y \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\) trong mặt phẳng.

Từ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\left| z \right|^2} = 2\left| {z + \overline z } \right| + 4\\ \left| {z - 1 - i} \right| = \left| {z - 3 + 3i} \right| \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 4\left| x \right| + 4\\ x - 2y - 4 = 0 \end{array} \right.{\rm{ (I)}}\)

Tập hợp các điểm \(M\left( x;y \right)\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\left| x \right|+4\) là đường tròn \(\left( H \right)\) gồm hai cung tròn: cung tròn \(\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4=0\) với \(x\ge 0\) và cung tròn \(\left( {{C}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-4=0\)  với \(x<0\) .

Suy ra tập hợp các điểm M thỏa  (I) là giao điểm của đường thẳng d:x-2y-4=0 với đường \(\left( H \right)\).

Vì d có 3 điểm chung với đường \(\left( H \right)\) nên có 3 số phức thỏa yêu cầu bài toán.