Trong hệ tọa độ \(Oxy\), parabol \(y=\frac{{{x}^{2}}}{2}\) chia đường tròn tâm \(O\) (\(O\) là gốc tọa độ) bán kính \(r=2\sqrt{2}\) thành 2 phần, diện tích phần nhỏ bằng:

* Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\).

Ta có: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{8-{{x}^{2}}}\).

Parabol chia hình tròn giới hạn bởi đường tròn \(\left( C \right)\) thành hai phần. Gọi \(S\) là phần diện tích giới hạn bởi \(y=\sqrt{8-{{x}^{2}}}\) và parapol \(\left( P \right):y=\frac{{{x}^{2}}}{2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) \(\sqrt{8-{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó ta tính được \(S\) như sau.

\(S=\int\limits_{-2}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}\text{d}x}-\int\limits_{-2}^{2}{\frac{{{x}^{2}}}{2}\text{d}x}\).

Tính \(I=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}\text{d}x}\).

Đặt \(t=2\sqrt{2}\sin x\Rightarrow \text{d}t=2\sqrt{2}\cos x.\text{d}x\), ta có.

\(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 8\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}.\cos t \right)\text{d}t}=4\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)\text{d}t}=\left. \left( 4t+2\sin 2t \right) \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=2\pi +4\).

Ta có: \(\int\limits_{-2}^{2}{\frac{{{x}^{2}}}{2}\text{d}x=\left. \frac{{{x}^{3}}}{6} \right|_{-2}^{2}=\frac{8}{3}}\).

Suy ra \(S=2\pi +\frac{4}{3}\).