Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng và hai điểm \(A\left( \,1;\,0\, & ;\,-1 \right), B\left( 2\,;\,1\, & ;\,1 \right)\). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA+MB nhỏ nh...

* Hướng dẫn giải

Do \(M\in d\) nên \(M(1+2t\,;\,1-t\,;\,t)\).

\(MA+MB=\sqrt{4{{t}^{2}}+{{(t-1)}^{2}}+{{(t+1)}^{2}}}+\sqrt{{{(2t-1)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{(t-1)}^{2}}}\)

\(=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}+\sqrt{6{{t}^{2}}-6t+2}=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}+\sqrt{6{{\left( t-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{2}}\).

Chọn \(\overrightarrow{u}=\left( \sqrt{6}t\,;\,\sqrt{2} \right),\text{ }\overrightarrow{\text{v}}=\left( \sqrt{6}\left( \frac{1}{2}-t \right)\,\,;\,\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\)\(\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left( \frac{\sqrt{6}}{2}\,\,;\,\,\frac{3}{\sqrt{2}} \right)\)

Ta có: \(MA+MB=\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{9}{2}}=\sqrt{6}\).

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow \) \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng hướng \(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{6}t}{\sqrt{6}\left( \frac{1}{2}-t \right)}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\Leftrightarrow 1=1-2t\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\).

Vậy MA+MB nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M\left( \frac{5}{3}\,\,;\,\,\frac{2}{3}\,\,;\,\,\frac{1}{3} \right)\).