Cho Parabol \(\left( P \right):y={{x}^{2}}+1\) và đường thẳng d:y=mx+2 với m là tham số. Gọi \({{m}_{0}}\) là giá trị của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\...

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ của \(\left( P \right)\) và d là \({{x}^{2}}-mx-1=0\,\,\left( 1 \right)\).

Dễ thấy \(\left( 1 \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi \(a,\,\,b\,\,\left( a<b \right)\) là các nghiệm của \(\left( 1 \right)\) thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và d là

\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{x}^{2}}-mx-1 \right|dx}=\left| \int\limits_{a}^{b}{\left( {{x}^{2}}-mx-1 \right)dx} \right|=\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{m{{x}^{2}}}{2}-x \right) \right|_{a}^{b} \right|\)

\(=\left| \frac{{{b}^{3}}-{{a}^{3}}}{3}-\frac{m({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}{2}-(b-a) \right|=\left| b-a \right|.\left| \frac{{{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}}{3}-\frac{m(b+a)}{2}-1 \right|\)

=\(\sqrt{{{\left( b+a \right)}^{2}}-4ab}.\left| \frac{{{\left( b+a \right)}^{2}}-ab}{3}-\frac{m\left( b+a \right)}{2}-1 \right|\)

Mà \(a+b=m,\,\,ab=-1\) nên \(S=\sqrt{{{m}^{2}}+4}.\left( \frac{{{m}^{2}}}{6}+\frac{2}{3} \right)\ge \frac{4}{3}\).

Do đó \(\min S=\frac{4}{3}\) khi \)m=0\).