Cho M là tập hợp các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|\). Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\).

Ta có \(\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|\) \({{A}_{1}},\) \(\Rightarrow \sqrt{4{{x}^{2}}+{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}\)

\(\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)

Gọi \({{A}_{1}},{{A}_{2}}\) là biểu diễn tương ứng của \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) \(\Rightarrow {{A}_{1}};{{A}_{2}}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( 0;0 \right)\), bán kính bằng 1.

Theo giả thiết \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1\) \(\Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}=1\) \(\Rightarrow \Delta O{{A}_{1}}{{A}_{2}}\) đều cạnh =1.

Khi đó, \(P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2OK=2\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\) (K là trung điểm \({{A}_{1}}{{A}_{2}}\)).