Cho các số thực dương a và b thỏa mãn \({{\log }_{b}}a\sqrt{b}={{\log }_{\frac{\sqrt{a}}{b}}}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\) và \({{\log }_{b}}a>0\). Tính \(m={{\log }_{b}}a\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \({{\log }_{b}}a\sqrt{b}={{\log }_{\frac{\sqrt{a}}{b}}}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a+\frac{1}{2}=\frac{{{\log }_{b}}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}}{{{\log }_{b}}\frac{\sqrt{a}}{b}}\)\(\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a+\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{3}{{\log }_{b}}a-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}{{\log }_{b}}a-1}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\left( {{\log }_{b}}a \right)}^{2}}-\frac{13}{12}{{\log }_{b}}a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\log }_{b}}a=0 \\ & {{\log }_{b}}a=\frac{13}{6} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{\log }_{b}}a=\frac{13}{6}\) vì \({{\log }_{b}}a>0\).