Cho số phức \(z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\). Tính giá trị biểu thức P=a+b khi \(\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i...

* Hướng dẫn giải

Gọi M là điểm biểu diễn z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\) thì tập hợp M là đường tròn tâm \(I\left( 4;3 \right)\), bán kính \(\sqrt{5}\). Gọi \(A\left( -1;3 \right),\,B\left( 1;-1 \right)\) thì

\(\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=MA+MB\).

Nhận xét thấy A,B,M luôn tạo thành 1 tam giác. Gọi C là trung điểm AB, \(C\left( 0;1 \right)\), ta có \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{C}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{2}+\sqrt{5}\)

Mà \(MA+MB\le \sqrt{2}\sqrt{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}\).

Do đó MA+MB đạt giá trị lớn nhất khi MC lớn nhất. C nằm ngoài đường tròn tâm I, bán kính  nên \(M{{C}_{\max }}=IC+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\), khi đó M trùng với \(D\left( 6;4 \right)\). Vậy số phức thỏa mãn các yêu cầu của đề bài là \(z=6+4i\Rightarrow P=10\).