Từ một tấm tôn có hình dạng elip với độ dài trục lớn bằng độ dài trục bé bằng . Người thợ cần cắt một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp, sau đó gò tấm tôn hình chữ nhật n...

* Hướng dẫn giải

Ta có phương trình đường \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\Rightarrow y=\frac{2}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}\).

Gọi bán kính đáy hình trụ là r, đường cao là h

Chu vi một đáy của hình trụ là: \(2\pi r=2x\Leftrightarrow r=\frac{x}{\pi }\)

\(AH=\frac{2}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}\Rightarrow h=2AH=\frac{4}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}\)

\({{V}_{tru}}=\pi .{{r}^{2}}.h=\pi {{\left( \frac{x}{\pi } \right)}^{2}}.\frac{4}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}=\frac{4}{3\pi }{{x}^{2}}\sqrt{9-{{x}^{2}}}\)

Đặt \(f\left( x \right)=\frac{4}{3\pi }{{x}^{2}}\sqrt{9-{{x}^{2}}}\,\,\,\left( 0<x<3 \right)\)

\(f'\left( x \right) = \frac{4}{{3\pi }}\left[ {\frac{{18x - 3{x^3}}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\,(L)\\ x = \sqrt 6 (N)\\ \,x = - \sqrt 6 \,(L) \end{array} \right.\)

Suy ra \({V_{\max }} = \frac{{8\sqrt 3 }}{\pi } \Leftrightarrow x = \sqrt 6 \)