Cho hàm số . Tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f({{\cos }^2}x)\sin 2xdx} + 2\int\limits_0^1 {f(3 - 2x)} dx\) bằng

* Hướng dẫn giải

Tính \(A=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f({{\cos }^{2}}x)\sin 2xdx}\)

Đặt \(t={{\cos }^{2}}x\Rightarrow dt=-\sin 2xdx\)

Đổi cận \(x=0\Rightarrow t=1;\,\,\,x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=0\)

\(A=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt=}\int\limits_{0}^{1}{\left( 1+2x \right)dx=}2\)

Tính \(B=2\int\limits_{0}^{1}{f(3-2x)dx}\)

Đặt \(t=3-2x\Rightarrow dt=-2dx\)

Đổi cận \(x=0\Rightarrow t=3;\,\,\,x=1\Rightarrow t=1\)

\(B=\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt=}\int\limits_{1}^{3}{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)dx=}-\frac{4}{3}\)

\(I=A+B=\frac{2}{3}\)