Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng \(\left( -2000;2000 \right)\) để \(4{{a}^{\sqrt{{{\log }_{a}}b}}}-{{b}^{\sqrt{{{\log }_{b}}a}}}>m\sqrt{{{\log }_{a}}b}+3\) vớ...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\sqrt {{{\log }_a}b} = t > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{{\log }_b}a} = \frac{1}{t}\\ b = {a^{\frac{1}{{{t^2}}}}} \end{array} \right.\)

Bất phương trình đã cho trở thành

\(4{{a}^{t}}-{{\left( {{a}^{{{t}^{2}}}} \right)}^{\frac{1}{t}}}>ma+3\) với \(\forall t>0\)

\(\Leftrightarrow 4{{a}^{t}}-{{a}^{t}}>ma+3\Leftrightarrow 3{{a}^{t}}>mt+3\) với \(\forall t>0\).

Do vậy đồ thị hàm số \(y=3{{a}^{t}}\) luôn nằm trên đường thẳng y=mt+3 với \(\forall t>0\)

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra \(m\le 0\)

Suy ra \(m\in \left\{ -1999;0 \right\}\) vậy có 2000 giá trị thỏa mãn