Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;0;0 \right), B\left( 0;4;0 \right), C\left( 0;0;6 \right)\). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và N...

* Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right):\frac{x}{4}+\frac{y}{5}+\frac{z}{101}=1\Leftrightarrow 505x+404y+20z-2020=0\)

Gọi \(N\left( x;y;z \right)\)

Theo giả thiết ta có N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON=2020 suy ra \(\overrightarrow{OM}=\frac{2020}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}\)

Do đó \(M\left( \frac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)\)

Mặt khác \(M\in \left( ABC \right)$ nên \(505\frac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+404\frac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+20\frac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-2020=0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0\).

Do đó điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0\).

Dễ thấy D nằm trong mặt cầu, do vậy EF ngắn nhất khi và chỉ khi \(ID\bot EF\), trong đó \(I\left( \frac{505}{2};202;10 \right)\).

Khi đó \(F{{E}_{\min }}=2DF=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{D}^{2}}}=2\sqrt{{{\left( \frac{505}{2} \right)}^{2}}+{{202}^{2}}+{{10}^{2}}-{{\left( \frac{505}{2} \right)}^{2}}}=4\sqrt{10226}\)