Có bao nhiêu số phức z đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| z+i \right|=2\) và \({{\left( z-2 \right)}^{4}}\) là một số thực?

* Hướng dẫn giải

Giả sử số phức z=a+bi, \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\).

Ta có \(\left| z+i \right|=2\Leftrightarrow \left| a+\left( b+1 \right)i \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4 \left( 1 \right)\)

\({{\left( z-2 \right)}^{4}}={{\left[ \left( a-2 \right)+bi \right]}^{4}}={{\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}+2b\left( a-2 \right)i \right]}^{2}}\)

\(={{\left( a-2 \right)}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}+4b{{\left( a-2 \right)}^{3}}i-4{{b}^{3}}\left( a-2 \right)i\)

\(={{\left( a-2 \right)}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}+4b\left( a-2 \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{b}^{2}} \right]i\)

Vì \({\left( {z - 2} \right)^4}\) là một số thực nên \(4b\left( {a - 2} \right)\left[ {{{\left( {a - 2} \right)}^2} - {b^2}} \right] = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a - 2 = b\\ a - 2 = - b \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a = b + 2\\ a = 2 - b \end{array} \right.\)

+) b = 0 thay vào (1) ta có \({a^2} + 1 = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \sqrt 3 \\ a = - \sqrt 3 \end{array} \right.\). Có số phức \(\left[ \begin{array}{l} z = \sqrt 3 \\ z = - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

+) a = 2 thay vào (1) ta có \({2^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow b = - 1\). Có số phức z = 2 - i

+) a = b + 2 thay vào (1) ta có \({\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} + 6b + 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = \frac{{ - 3 - \sqrt 7 }}{2}\\ b = \frac{{ - 3 + \sqrt 7 }}{2} \end{array} \right.\).

Có 2 số phức thỏa mãn

+) a = -b + 2 thay vào (1) ta có \({\left( { - b + 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} - 2b + 1 = 0\) (Vô nghiệm )

Vậy có 5 số phức thỏa mãn.