Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(1\le y\le 2020\) và \({{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2y \right)+y\)?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{\log }_{4}}\left( x+2y \right)\Leftrightarrow x+2y={{4}^{t}} \Leftrightarrow y=\frac{{{4}^{t}}-x}{2}\).

Khi đó \({{2}^{x-1}}=t+\frac{{{4}^{t}}-x}{2}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{2t}}+2t\)

Xét hàm số \(f\left( u \right)={{2}^{u}}+u\Rightarrow {f}'\left( u \right)={{2}^{u}}\ln 2+2>0\ \forall \,u\in \mathbb{R}\).

Do đó \(f\left( x \right)=f\left( 2t \right) \Leftrightarrow x=2t \Rightarrow y={{2}^{x-1}}-\frac{1}{2}x \in \left[ 1;2020 \right]\).

Suy ra \(x\in \left\{ 2;3;...;11 \right\}\).

Nhưng \(y\in \mathbb{Z}\) nên \(x\vdots 2\). Do đó \(x\in \left\{ 2;4;6;8;10 \right\}\).

Vậy có 5 cặp số nguyên thỏa mãn.