Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{3}{{x}^{3...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2} \right)\).

Trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị hàm số \({f}'\left( x \right)\) ta vẽ thêm đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có

Khi \(x\in \left( -3;-1 \right)\) thì \({f}'\left( x \right)<{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\), khi \(x\in \left( -1;1 \right)\) thì \({f}'\left( x \right)>{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\).

Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số \(y=g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -3;1 \right]\) như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Vì trên \(\left[ 0;1 \right]\) hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến nên \(g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)\), do đó (I) đúng.

Từ BBT ta có \(\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -1 \right)\), do đó (II) đúng.

Từ BBT ta thấy (III) đúng.

\(\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}\).