Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\) có hai nghiệm phân biệt?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1\,\,\,}\\ {mx > 8} \end{array}} \right.\)

Ta có: \({{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\,\,\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=mx-8\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+9=m\Leftrightarrow x-2+\frac{9}{x}=m\,\,\,\left( do\,\,x>1 \right)\) (2)

Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt ⇒ Phương trình (2) có 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1 (*)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=x-2+\frac{9}{x},x>1\) có \(f'\left( x \right)=1-\frac{9}{{{x}^{2}}},f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3\)

Bảng biến thiên:

(*)\(\Leftrightarrow 4<m<8\). Mà \(m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 5;6;7 \right\}\): có 3 giá trị của m thỏa mãn.