Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-2018;2019] để hàm số \(y=m{{x}^{4}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}

* Hướng dẫn giải

+) Với \(m=0\Rightarrow y={{x}^{2}}+1\): là hàm số bậc hai với hệ số \(a=1>0\Rightarrow \) Hàm số có 1 điểm cực tiểu, không có cực đại

⇒ m = 0 không thỏa mãn.

+) Với \(m\ne 0\) : Hàm số là hàm bậc 4 trùng phương.

Khi đó hàm số có đúng một điểm cực đại \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0}\\ {b \le 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0}\\ {b < 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0\,\,\,\,\,\,}\\ {m + 1 \le 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0\,\,\,\,\,}\\ {m + 1 < 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0}\\ {m \le - 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0}\\ {m < - 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le - 1\)

Mà \(m \in Z,m \in \left[ { - 2018;2019} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2018; - 2017;...; - 1} \right\}\): có 2018 giá trị của m thỏa mãn.