Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới. Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{3}}+x-1 \right)+m\). Tìm m để \(\unders...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{3}}+x-1 \right)+m\Rightarrow g'\left( x \right)=\left( 6{{x}^{2}}+1 \right).f'\left( 2{{x}^{3}}+x-1 \right)\)

Với \(x\in \left[ 0;1 \right]\) thì \(\left( 2{{x}^{3}}+x-1 \right)\in \left[ -1;2 \right]\)

Quan sát đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) ta thấy hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến trên đoạn [-1;l]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0,x \in \left[ { - 1;1} \right]\\ \Rightarrow f'\left( {2{x^3} + x - 1} \right) \le 0,\forall x \in {\rm{[}}0;1] \Rightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in {\rm{[}} - 1;2]\,\,(do\,\,\,6{x^2} + 1 > 0,\forall x) \end{array}\)

⇒ g (x) nghịch biến trên [0;1] \(\Rightarrow \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( -1 \right)+m=3+m\)

Theo đề bài, ta có: \(3+m=-10\Leftrightarrow m=-13\)