Cho \(f\left( 1 \right)=1,f\left( m+n \right)=f\left( m \right)+f\left( n \right)+mn\) với mọi \(mn\in {{N}^{*}}\). Tính giá trị của biểu thức \(T=\log \left[ \frac{f\left( 96 \rig...

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow f\left( {m + 1} \right) = f\left( m \right) + f\left( 1 \right) + m.1 \Leftrightarrow f\left( {m + 1} \right) = f\left( m \right) + m + 1\\ \Leftrightarrow f\left( {m + 1} \right) - f\left( m \right) = m + 1\\ \Rightarrow f\left( {96} \right) - f\left( {69} \right) = \left[ {f\left( {96} \right) - f\left( {95} \right)} \right] + \left[ {f\left( {95} \right) - f\left( {94} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {70} \right) - f\left( {69} \right)} \right]\\ = 96 + 95 + ... + 70 = \frac{{27.\left( {96 + 70} \right)}}{2} = 2241\\ \Rightarrow \frac{{f\left( {96} \right) - f\left( {69} \right) - 241}}{2} = \frac{{2241 - 241}}{2} = 1000\\ \Rightarrow T = \log \left[ {\frac{{f\left( {96} \right) - f\left( {69} \right) - 241}}{2}} \right] = \log 1000 = 2. \end{array}\)