Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SA=SB=SC=a, Cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là:

* Hướng dẫn giải

Khi SD thay đổi thi AC thay đổi. Đặt AC=x.Gọi \(O=AC\cap \).

Vì SA=SB=SC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \(\Rightarrow H\in BO\).

Ta có \(OB=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}\)

\(=\frac{1}{3}a\left( x.\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)\le \frac{1}{3}a\left( \frac{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2} \right)=\frac{{{a}^{3}}}{2}\).