Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( 2;1;2 \right)\) đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tứ diện OAB...
Câu hỏi :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( 2;1;2 \right)\) đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là.
A. x + 2y + z - 1 = 0
B. 2x + y - 2z - 1 = 0
C. 2x + y + z - 7 = 0
D. x + 2y + z - 6 = 0
* Đáp án
D
* Hướng dẫn giải
Gọi \(A\left( a;0;0 \right), B\left( 0;b;0 \right)\) và \(C\left( 0;0;c \right)$ với \(a>0,\,b>0,\,c>0\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).
Do \(M\in \left( \alpha \right)\) nên \(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1\). Suy ra \(1=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\ge 3.\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{2}{c}}\Rightarrow abc\ge 108\).
Ta có: \({{V}_{ABC}}=\frac{1}{6}abc\ge \frac{1}{6}.108=18\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=c=6;\,b=3\).
Vậy phương trình \(\left( \alpha \right):\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\) hay \(\left( \alpha \right):x+2y+z-6=0\).
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Dương Văn Thì
Copyright © 2021 HOCTAP247