Cho lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh a và \(A{B}'\) vuông góc với \(B{C}'\). Thể tích của lăng trụ đã cho là.

* Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm BC. Vì ABCA'B'C' là lăng trụ tam giác đều nên.

\(AI\bot \left( BB'C'C \right)=>AI\bot BC'\).

Lại có giả thiết \(AC'\bot BC'\) nên suy ra \(BC'\bot \left( AIB' \right)=>BC'\bot B'I\).

Gọi \(H=B'I\cap BC'\).

Ta có \(\Delta BHI\) đồng dạng \(\Delta C'HB' => \frac{HI}{B'H}=\frac{BI}{B'C'}=\frac{1}{2}=>B'H=2HI=>B'I=3HI\).

Xét tam giác vuông B'BI có \(B{{I}^{2}}=HI.B'I=3H{{I}^{2}}=>HI=\sqrt{\frac{B{{I}^{2}}}{3}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{12}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Suy ra \(BB'=\sqrt{B'{{I}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Vậy \(V={{S}_{\Delta ABC}}.BB'={{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}\).