Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).lo{{g}_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m\) có nghiệm \(x\ge 1.\)?

* Hướng dẫn giải

Với \(x\ge 1\Rightarrow {{5}^{x}}\ge 5\Rightarrow {{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( 5-1 \right)=2\) hay \(t\ge 2\).

Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm \(t\ge 2\)”.

Xét hàm số \(f(t)={{t}^{2}}+t,\text{ }\forall t\ge 2,\text{ }f'(t)=2t+1>0,\text{ }\forall t\ge 2\)

Suy ra hàm số đồng biến với \(t\ge 2\).

Khi đó phương trình có nghiệm khi \(2m\ge 6\Leftrightarrow m\ge 3.\)

Vậy \(m\ge 3\) là các giá trị cần tìm.