Cho hàm số f liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(f(x)+f(-x)=\sqrt{2+2\cos 2x}\), với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{f(x)dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}}\)

Tính \({{I}_{1}}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{f(x)dx}\). Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt\) ⇒ \({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(-t)dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(-x)dx}}\).

Thay vào, ta được \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ f(-x)+f(x) \right]dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{2\left( 1+\cos 2x \right)}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left| \cos x \right|dx}}}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xdx}=2\)