Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng \(60{}^\circ \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng ba...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(AM=\frac{\sqrt{3}}{2}, AG=\frac{\sqrt{3}}{3}\).

G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng đường thẳng \(\Delta \) qua G và vuông góc mặt phẳng (ABC). Suy ra \(\Delta \) là trục đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Gọi J là trung điểm SA. Trong mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng SA và \(\Delta \) kẻ đường thẳng trung trực của đoạn SA cắt \(\Delta \) tại I. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

\(\widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SMA}=60{}^\circ \).

Tam giác SAM vuông tại A: \(\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}\Rightarrow SA=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3}{2}\).

\(JA=\frac{SA}{2}=\frac{3}{4}\).

\(\Delta IAG\) vuông tại J: \(R=IA=\sqrt{I{{G}^{2}}+A{{G}^{2}}}=\sqrt{J{{A}^{2}}+A{{G}^{2}}}=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{129}}{12}\).

\(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \frac{129}{144}=\frac{43\pi }{12}\).