Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: \(y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

* Hướng dẫn giải

\(\begin{align} & {y}'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x \\ & {y}'=0\Leftrightarrow 4x\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)=0 \\ \end{align}\)

Hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow m\ne 0\)

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: \(A\left( 0;1 \right),\,\,B\left( m;1-{{m}^{4}} \right),\,\,C\left( -m;1-{{m}^{4}} \right)\)

Do tính chất đối xứng, ta có \(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A.

Vậy \(\Delta ABC\) chỉ có thể vuông cân tại đỉnh \(A\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+{{m}^{8}}=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=\pm 1 \\ \end{align} \right.\).

Kết hợp điều kiện ta có: \(m=\pm 1\).